とっかかりとして
統計・データサイエンスの役割について，事例を見ながら知りたい
データ分析されたものを読めるようになりたい
勉強し始めるなら…
めっちゃちゃんと勉強するなら (大学院入門レベル)
rm(list=ls()); gc(); gc();
if (!require("pacman")) install.packages("pacman")
pacman::p_load(magrittr,
estimatr, car, modelsummary,
ggrepel, patchwork, psych, tidyverse, conflicted)
conflicts_prefer(dplyr::select())pacmanパッケージが入っていない場合は，インストールする
pacman複数のパッケージを読み込めるパッケージ。そのパッケージの中のp_loadコマンドを使うと，（）内に指示したパッケージを読み込める。さらにそのパッケージがそもそもインストールされていない場合にはインストールした後に読み込んでくれる
tidyverseRのコードを楽にするたくさんのパッケージをパッケージにしたもの
magrittrtidyverseに含まれる%>%などのコードをさらに拡張するもの。これがあると%$%とか%<>%が使える
前回と同じデータで分析を続けます。9_kadai.csvには，ある大学の授業における学生19名の入学試験結果 (exam,700点満点)，入学から現在までのGPA (gpa)，高校の時の評定平均 (hschool, 10段階)が含まれています。ここから，GPAが入学時点で得られる情報とどのような関係にあるかを検証したいと考えています。
gpaとexam,hschool3つの変数の記述統計量をdescribe関数を使って算出してください。（コード）gpaとexam,hschool3つの変数の相関係数を計算してください。cor()関数で，3つ以上の変数が含まれるデータを()内に指定すると，相関表が出力されます。（コード）gpaを従属変数，examを独立変数として単回帰分析をしてください（前回課題と同じ）gpaを従属変数，hschoolを独立変数として単回帰分析をしてください。その上で，係数とその統計的仮説検定の結果から，何が言えるかを説明してください（コードと説明のみ，結果は書く必要ないです）gpaを従属変数，examとhschoolを独立変数として，重回帰分析をしてください。その上で，係数とその統計的仮説検定の結果から，何が言えるかを説明してください（コードと説明のみ，結果は書く必要ないです）test <- read_csv("data/9_kadai.csv")gpaとexam,hschool3つの変数の記述統計量をdescribe関数を使って算出してください。（コード）test |>
select(-student) |>
describe()gpaとexam,hschool3つの変数の相関係数を計算してください。cor()関数で，3つ以上の変数が含まれるデータを()内に指定すると，相関表が出力されます。（コード）test |>
select(-student) |>
datasummary_correlation()| exam | gpa | hschool | |
|---|---|---|---|
| exam | 1 | . | . |
| gpa | .76 | 1 | . |
| hschool | .69 | .61 | 1 |
gpaを従属変数，examを独立変数として単回帰分析をしてください（前回課題と同じ）gpaを従属変数，hschoolを独立変数として単回帰分析をしてください。その上で，係数とその統計的仮説検定の結果から，何が言えるかを説明してください（コードと説明のみ，結果は書く必要ないです）gpaを従属変数，examとhschoolを独立変数として，重回帰分析をしてください。その上で，係数とその統計的仮説検定の結果から，何が言えるかを説明してください（コードと説明のみ，結果は書く必要ないです）r1 <- lm(gpa ~ exam, data = test)
r2 <- lm(gpa ~ hschool, data = test)
r3 <- lm(gpa ~ exam + hschool, data = test)list(r1,r2,r3) |>
msummary(gof_omit = "Log.Lik.|AIC|BIC|RMSE",
stars = TRUE)| (1) | (2) | (3) | |
|---|---|---|---|
| + p < 0.1, * p < 0.05, ** p < 0.01, *** p < 0.001 | |||
| (Intercept) | -1.797+ | -1.025 | -2.094+ |
| (0.896) | (1.131) | (1.003) | |
| exam | 0.008*** | 0.007** | |
| (0.002) | (0.002) | ||
| hschool | 0.503** | 0.128 | |
| (0.159) | (0.183) | ||
| Num.Obs. | 19 | 19 | 19 |
| R2 | 0.580 | 0.369 | 0.593 |
| R2 Adj. | 0.556 | 0.332 | 0.542 |
| F | 23.509 | 9.930 | 11.649 |
これらは回帰分析でよく使われる手法で、分析の幅が広がるという意味でも入門的かつ重要なものです。
第4回に出てきた変数の種類を思い出してください
様々な計算ができる比例尺度（例えば企業の売上や家計の収入）とは違い、名義尺度には数量的な意味はない。
\[ income = \beta_0 + \beta_1 age + \beta_2 gender + u \]
\(income\) は年収（円）、 \(age\) は年齢（歳）、 \(gender\)は性別（男は0女は1）とします。この回帰モデルを推定した場合、 \(\beta_1\)の推定値は「年齢が1歳上がると年収が \(\beta_1\)円上がる」ということを示します。一方で、 「性別が1上がると年収が \(\beta_2\)円上がる」とは言えません。なぜなら性別に関して便宜的に数字を振っているだけで、数字それ自体には意味がないからです。このような便宜的に振った数字をダミー変数と言います。ダミー変数は0か1で属性をに分割しています。そのため，以下のように，男性と女性で違う式が推定されます。
\[ \begin{cases} income = \beta_0 + \beta_1 age + u & gender = 0 \text{(男性)} \\ income = \beta_0 + \beta_1 age + \beta_2 + u & gender = 1 \text{(女性)} \end{cases} \]
\[ \begin{cases} income = \beta_0 + \beta_1 age + u & gender = 0 \text{(男性)} \\ income = \beta_0 + \beta_1 age + \beta_2 + u & gender = 1 \text{(女性)} \end{cases} \]
11_temperature_aug.csvは，時間単位で測った電力使用量のデータです (星野, 田中, and 北川 2023)
日付
時間（24時間表示）
電力使用量(万kw)
1時間あたり降水量(mm)
東京都の気温(℃)
tem_aug <- read_csv("data/11_temperature_aug.csv")
tem_augtem_aug |>
select(-date, -time) |>
describe()日付や時間以外の変数の記述統計です。
例えば電気使用量の平均は3398万kw，降水量は平均0.14mm，平均気温は27℃などがわかります。
電力使用量と時間の関係を見てみるため，まず散布図を書いてみます
tem_aug |>
ggplot(aes(x = time, y = elec)) +
geom_point() +
xlab("時刻") +
ylab("電力使用量") +
theme_minimal() +
theme(panel.grid = element_blank()) 
なんとなく日中の使用量が多い
そこで，日中の時間帯を午前，午後に分けて新しい変数を作ります。
tem_aug %<>%
mutate(morning = 1 * (6 <= time & time <=12 ),
afternoon = 1 * (13 <= time & time <=18 ))morningを作成
afternoonを作成
ここで作ったmorningとafternoonは，それぞれ該当する時に1，それ以外で0をとるダミー変数
| 変数 | 6-12時 | 13-18時 | 18-5時 |
|---|---|---|---|
| morning | 1 | 0 | 0 |
| afternoon | 0 | 1 | 0 |
これらを電力使用量に回帰すると
\[ elec_i = \beta_0 + \beta_1 morning_i + \beta_2 afternoon_i + u_i \]
lm(elec ~ morning + afternoon, data = tem_aug) |>
print()
Call:
lm(formula = elec ~ morning + afternoon, data = tem_aug)
Coefficients:
(Intercept) morning afternoon
3043.7 457.7 885.2 ここでのmorning, afternoonそれぞれの解釈は
\[ \begin{cases} elec_i = \hat\beta_0 & \text{夜間}: morning == 0 & afternoon == 0 \\ elec_i = \hat\beta_0 + \hat\beta_1 & \text{午前}: morning == 1 & afternoon == 0 \\ elec_i = \hat\beta_0 + \hat\beta_2 & \text{午後}: morning == 0 & afternoon == 1 \\ \end{cases} \]
lm(elec ~ morning + afternoon, data = tem_aug) |>
summary()
Call:
lm(formula = elec ~ morning + afternoon, data = tem_aug)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-1288.3 -489.9 -129.3 468.9 1573.3
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 3043.69 33.38 91.176 <2e-16 ***
morning 457.65 53.53 8.549 <2e-16 ***
afternoon 885.25 56.19 15.754 <2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 616.4 on 741 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.2573, Adjusted R-squared: 0.2553
F-statistic: 128.4 on 2 and 741 DF, p-value: < 2.2e-16
どちらも統計的に有意（係数が0という帰無仮説が棄却される）
ここで，新しく日付情報から変数を作る
saturday)と日曜日(sunday)の変数を作る。tem_aug %<>%
mutate(date = ymd(date),
dow = wday(date,label = TRUE))
tem_aug %<>%
mutate(saturday = 1 * (dow == "Sat"),
sunday = 1 * (dow == "Sun"),
recess = 1 * ("2014-08-11"<=date &date <= "2014-08-16"))ymd()関数で，文字データとして読み込まれたdate変数を日付データに変換
wday()関数で，date変数から曜日を抽出して，曜日変数dowを作成
dowが土曜，日曜を識別するダミー変数（それぞれsaturday, sunday）を作成
recess変数を作成
reg4_1 <- lm(elec ~ temp + prec + sunday + recess + morning + afternoon + saturday, data = tem_aug)
summary(reg4_1)
Call:
lm(formula = elec ~ temp + prec + sunday + recess + morning +
afternoon + saturday, data = tem_aug)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-900.25 -282.76 19.38 287.56 932.70
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 88.889 119.530 0.744 0.457
temp 119.712 4.357 27.474 < 2e-16 ***
prec 25.199 15.336 1.643 0.101
sunday -497.751 40.695 -12.231 < 2e-16 ***
recess -446.610 36.748 -12.153 < 2e-16 ***
morning 201.870 34.800 5.801 9.79e-09 ***
afternoon 571.845 37.087 15.419 < 2e-16 ***
saturday -256.122 39.716 -6.449 2.04e-10 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 386.3 on 736 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.7104, Adjusted R-squared: 0.7076
F-statistic: 257.9 on 7 and 736 DF, p-value: < 2.2e-16reg4_1 <- lm(elec ~ temp, data = tem_aug)
reg4_2 <- lm(elec ~ temp + prec, data = tem_aug)
reg4_3 <- lm(elec ~ temp + prec + sunday + saturday, data = tem_aug)
reg4_4 <- lm(elec ~ temp + prec + sunday + saturday + recess, data = tem_aug)
reg4_5 <- lm(elec ~ temp + prec + sunday + saturday + recess + morning + afternoon, data = tem_aug)
list(reg4_1, reg4_2, reg4_3, reg4_4, reg4_5) |>
msummary(gof_omit = "Log.Lik.|AIC|BIC|RMSE",
stars = TRUE)| (1) | (2) | (3) | (4) | (5) | |
|---|---|---|---|---|---|
| + p < 0.1, * p < 0.05, ** p < 0.01, *** p < 0.001 | |||||
| (Intercept) | -614.272*** | -646.492*** | -413.385** | -284.530* | 88.889 |
| (143.223) | (145.367) | (142.999) | (133.997) | (119.530) | |
| temp | 145.030*** | 146.068*** | 140.986*** | 140.151*** | 119.712*** |
| (5.134) | (5.196) | (5.035) | (4.699) | (4.357) | |
| prec | 24.898 | 41.142* | 46.319** | 25.199 | |
| (19.493) | (18.800) | (17.550) | (15.336) | ||
| sunday | -374.277*** | -482.532*** | -497.751*** | ||
| (48.856) | (46.735) | (40.695) | |||
| saturday | -213.387*** | -232.276*** | -256.122*** | ||
| (48.814) | (45.585) | (39.716) | |||
| recess | -444.282*** | -446.610*** | |||
| (42.223) | (36.748) | ||||
| morning | 201.870*** | ||||
| (34.800) | |||||
| afternoon | 571.845*** | ||||
| (37.087) | |||||
| Num.Obs. | 744 | 744 | 744 | 744 | 744 |
| R2 | 0.518 | 0.519 | 0.559 | 0.617 | 0.710 |
| R2 Adj. | 0.517 | 0.518 | 0.557 | 0.614 | 0.708 |
| F | 797.860 | 400.085 | 234.230 | 237.348 | 257.871 |
\[ test_i = \beta_0 + \beta_1 time_i + \beta_2 IQ_i +\beta_3 time_i \times IQ_i + u_i \]
\(\beta_3\)の項目は，時間とIQの掛け合わせになっています。これによって，テストの点数の時間に対する効果（の一部）は，IQに依存する，という関係が式に含まれることになります。
timeiq <- read_csv('data/11_timeiq.csv')
timeiq勉強時間
IQテストのスコア
テストの点（990点満点）
分析の際には，交互作用を検証したい独立変数間を「*」で繋いで書きます
lm(従属変数 ~ 独立変数1*独立変数2, data = データ名)
lm(exam ~ time * IQ, data = timeiq) |>
print()
Call:
lm(formula = exam ~ time * IQ, data = timeiq)
Coefficients:
(Intercept) time IQ time:IQ
-55.93623 8.10315 3.69310 0.02524 ここから，
\[ exam = -55.9 + 8.10time+3.69IQ+0.02time\times IQ \]
テストの点は，
で説明される
r1 <- lm(exam ~ time, data = timeiq)
r2 <- lm(exam ~ IQ, data = timeiq)
r3 <- lm(exam ~ time + IQ, data = timeiq)
r4 <- lm(exam ~ time * IQ, data = timeiq)
list(r1, r2, r3, r4) |>
msummary(gof_omit = "Log.Lik.|AIC|BIC|RMSE",
stars = TRUE)| (1) | (2) | (3) | (4) | |
|---|---|---|---|---|
| + p < 0.1, * p < 0.05, ** p < 0.01, *** p < 0.001 | ||||
| (Intercept) | 290.791*** | 73.668 | -166.666*** | -55.936* |
| (8.975) | (53.111) | (6.662) | (24.970) | |
| time | 11.511*** | 10.704*** | 8.103*** | |
| (0.203) | (0.059) | (0.569) | ||
| IQ | 6.879*** | 4.773*** | 3.693*** | |
| (0.513) | (0.064) | (0.243) | ||
| time × IQ | 0.025*** | |||
| (0.005) | ||||
| Num.Obs. | 500 | 500 | 500 | 500 |
| R2 | 0.865 | 0.265 | 0.989 | 0.989 |
| R2 Adj. | 0.865 | 0.264 | 0.989 | 0.989 |
| F | 3201.821 | 179.930 | 22196.314 | 15403.316 |
\[ income_i = \beta_0 + \beta_1 age_i + \beta_2 gender_i + \beta_3 age_i \times gender_i + u_i \]
ただし，\(gender\)は，女性の場合に1，それ以外0のダミー変数です。この場合，genderは男女0，1しかないので
\[ \begin{cases} income_i = \beta_0 + \beta_1 age_i + u_i & gender_i = 0 (女性以外) \\ income_i = (\beta_0 + \beta_2) + (\beta_1 + \beta_3) age_i + u_i & gender_i = 1 (女性) \end{cases} \]
となります。切片だけでなく，傾きも性別によって変わる，という仮定が置かれた分析になります。
11_wage.csvはIQと年収が含まれた個人データです (Wooldridge 2013)
wage <- read_csv('data/11_wage.csv')
wagewage.csvに入っている変数のうち IQはその人のIQ， wageは月収です。また，lIQはIQの対数（ \(\log _e IQ\) ）， lwageは wageの対数 (\(\log _e wage\))です。
普通に回帰すると，IQの係数の解釈は，「IQが1高い時，年収が〇〇ドル高くなる」です。
w1 <- lm(wage ~ IQ, data = wage)
summary(w1)
Call:
lm(formula = wage ~ IQ, data = wage)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-898.7 -256.5 -47.3 201.1 2072.6
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 116.9916 85.6415 1.366 0.172
IQ 8.3031 0.8364 9.927 <2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 384.8 on 933 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.09554, Adjusted R-squared: 0.09457
F-statistic: 98.55 on 1 and 933 DF, p-value: < 2.2e-16対数化したもの同士を回帰すると，「IQが1%高い時，年収が〇〇%高くなる」という解釈になります
w2 <- lm(lwage ~ lIQ, data = wage)
summary(w2)
Call:
lm(formula = lwage ~ lIQ, data = wage)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-2.09743 -0.24828 0.02547 0.27542 1.21110
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 2.94218 0.38409 7.660 4.64e-14 ***
lIQ 0.83299 0.08334 9.995 < 2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 0.4005 on 933 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.09672, Adjusted R-squared: 0.09576
F-statistic: 99.91 on 1 and 933 DF, p-value: < 2.2e-16従属変数や独立変数のどちらかだけを対数として回帰することもあります。wageだけを対数として回帰する場合「IQが1高い時，年収が〇〇%高くなる」です
w3 <- lm(lwage ~ IQ, data = wage)
summary(w3)
Call:
lm(formula = lwage ~ IQ, data = wage)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-2.09323 -0.25547 0.02261 0.27544 1.21487
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 5.8869942 0.0890206 66.13 <2e-16 ***
IQ 0.0088072 0.0008694 10.13 <2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 0.3999 on 933 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.09909, Adjusted R-squared: 0.09813
F-statistic: 102.6 on 1 and 933 DF, p-value: < 2.2e-16w4 <- lm(wage ~ lIQ, data = wage)
list("両方普通" = w1,
"両方対数" = w2,
"従属対数" = w3,
"独立対数" = w4) |>
msummary(gof_omit = "Log.Lik.|AIC|BIC|RMSE|F",
stars = TRUE)| 両方普通 | 両方対数 | 従属対数 | 独立対数 | |
|---|---|---|---|---|
| + p < 0.1, * p < 0.05, ** p < 0.01, *** p < 0.001 | ||||
| (Intercept) | 116.992 | 2.942*** | 5.887*** | -2628.053*** |
| (85.642) | (0.384) | (0.089) | (369.814) | |
| IQ | 8.303*** | 0.009*** | ||
| (0.836) | (0.001) | |||
| lIQ | 0.833*** | 778.537*** | ||
| (0.083) | (80.242) | |||
| Num.Obs. | 935 | 935 | 935 | 935 |
| R2 | 0.096 | 0.097 | 0.099 | 0.092 |
| R2 Adj. | 0.095 | 0.096 | 0.098 | 0.091 |
回帰分析では，独立変数の2次関数を推定することを通して，直線ではない関係を推定することもできます。
11_mlb.csvは過去のアメリカメジャーリーグの成績と給料のデータです(Wooldridge 2013) 。変数の説明のリンク
プレー年数 (years)と給料 (salary)を回帰すると，以下のようになります。
mlb <- read_csv('data/11_mlb.csv')
lm(salary ~ years, data = mlb) |>
summary()
Call:
lm(formula = salary ~ years, data = mlb)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-2971888 -665744 -382887 545184 4737399
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 248601 126132 1.971 0.0495 *
years 173429 17003 10.200 <2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 1238000 on 351 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.2286, Adjusted R-squared: 0.2264
F-statistic: 104 on 1 and 351 DF, p-value: < 2.2e-16
年数と給料は有意かつ正の関係 (p < 0.001)。具体的には，年数が1年増えると，給料が173429ドル増えることが期待される。
しかし，年齢と給料は本当に直線関係でしょうか？野球選手の選手としてのピークは30歳前後で，多くが40歳までには引退します。引退前は成績も下がり，給料も最盛期よりも下がることが予想されます。つまり，年齢と給料の関係は（年功序列の）右肩上がりではなく，逆U字であると想定できます。
これを反映させるには，
\[ salary_i = \beta_0 + \beta_1 years_i + \beta_2 years^2_i + u_i \]
のような式を推定します。逆U時になるということは，給料は，プレー年数の二次関数で，なおかつ2乗の項がマイナス（ \(\beta_2 <0\)）ということになるはずです。
イメージ
Rでは，高次の項を含めるときには以下のように表現する
lm(y ~ x + I(x^2))lm(salary ~ years + I(years^2), data = mlb) %>%
summary()
Call:
lm(formula = salary ~ years + I(years^2), data = mlb)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-2222264 -738297 -172264 546249 4466972
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -484233 190920 -2.536 0.0116 *
years 429943 53960 7.968 2.30e-14 ***
I(years^2) -16170 3240 -4.991 9.47e-07 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 1198000 on 350 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.2799, Adjusted R-squared: 0.2758
F-statistic: 68.02 on 2 and 350 DF, p-value: < 2.2e-16実際分析すると， \(\beta_2\)の推定値は有意に負です。
このように，理論・論理上従属変数と独立変数との間の関係が直線関係ではないことが想定される場合，2乗項や3乗項を使って多次元の関数として推定することができます。
list(
"model1" = lm(salary ~ years, data = mlb),
"model2" = lm(salary ~ years + I(years^2), data = mlb)
) |>
msummary(gof_omit = "Log.Lik.|AIC|BIC|RMSE|F",
stars = TRUE,
title = "2乗を入れるか入れないか")| model1 | model2 | |
|---|---|---|
| + p < 0.1, * p < 0.05, ** p < 0.01, *** p < 0.001 | ||
| (Intercept) | 248601.059* | -484233.233* |
| (126132.314) | (190919.603) | |
| years | 173428.630*** | 429942.733*** |
| (17003.299) | (53960.197) | |
| I(years^2) | -16170.167*** | |
| (3239.590) | ||
| Num.Obs. | 353 | 353 |
| R2 | 0.229 | 0.280 |
| R2 Adj. | 0.226 | 0.276 |
重回帰分析の応用パターンについて幾つか紹介しました。
様々な拡張をすることで，分析の幅が広がります。
前回と同じデータで分析を続けます。9_kadai.csvには，ある大学の授業における学生19名の入学試験結果 (exam,700点満点)，入学から現在までのGPA (gpa)，高校の時の評定平均 (hschool, 10段階)が含まれています。ここから，GPAが入学時点で得られる情報とどのような関係にあるかを検証したいと考えています。
hschool)の中央値を求めてください（コードと結果）hschool)が中央値よりも高い時に1を取るダミー変数(名前はhsdummyとして)を作成してください（コード）hschoolの代わりに2で作ったダミー変数と入試結果(exam)を独立変数，従属変数を大学GPA（gpa）とした回帰分析をしてください。（コードと結果の解釈）gpaを従属変数として，2で作った変数とexamの交互作用を含めた回帰分析をしてください（コードと結果の解釈）examを対数変換した変数(lexam)とgpaを対数変換したlgpaを下記のコードを用いて作ってください。その上で，lgpaを従属変数，独立変数をlexam，hschoolとして回帰分析をしてください（コードと結果の解釈）test %<>%
mutate(lexam = log(exam),
lgpa = log(gpa))交互作用の例としてあげた以下の式について，
\[ test_i = \beta_0 + \beta_1 time_i + \beta_2 IQ_i +\beta_3 time_i \times IQ_i + u_i \]
\(\beta_3\)の項目は，時間とIQの掛け合わせになっています。これによって，テストの点数の時間に対する効果（の一部）は，IQに依存する，という関係が式に含まれることになります。この式について推定式をtimeで微分すると以下のようになり，timeのtestに対する効果がIQに依存していることが分かります。また，図で表すと，次のような3次元の関係になります（交互作用が＋の時の例）。
\[ \frac{\partial test}{\partial time}=\beta_1 + \beta_3 IQ \]
